Question

如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD丄CD,AB//CD,AB=AD=CD=2,點M在線段EC上.

(I)當點M為EC中點時，求證:  面;

(II)求證:平面BDE丄平面BEC；

(III)若平面說BDM與平面ABF所成二面角銳角,且該二面角的余弦值為時，求三棱錐M-BDE的體積.

 

Answer 1

【答案】

(1)答案詳見解析；（2）答案詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）要證明直線和平面平行，只需在平面內找一條直線，與平面外的直線平行即可，取中點，連結．可證明四邊形為平行四邊形． 于是，∥，從而證明 面;（2）要證明平面和平面垂直，只需在一個平面內找另一個平面的一條垂線，由面平面且，可證平面，從而，又可證，故平面，平面平面；（3）建立空間直角坐標系，設點M的坐標，求兩個半平面的法向量，然后利用已知二面角的余弦值列方程，從而確定點M的位置，進而求三棱錐的體積.

試題解析：（1）證明  取中點，連結．在△中，分別為的中點，

則∥，且．由已知∥，，因此，∥，且．所以，四邊形為平行四邊形． 于是，∥．又因為平面，且平面，

所以∥平面，從而可證.

（2）證明  在正方形中，．又平面平面，平面平面，知平面．所以．在直角梯形中，，，算得．在△中，，可得．故平面．又因為平面，所以，平面平面.

（3）按如圖建立空間直角坐標系，點與坐標原點重合.設，則，又，設，則，即.

設是平面的法向量，則,.

取，得，即得平面的一個法向量為.  由題可知，是平面的一個法向量.因此，，即點為中點.此時，，為三棱錐的高，所以，.

考點：1、直線和平面平行的判定；2、面面垂直的判定；3、二面角和三棱錐的體積.