Question

已知函數(shù)f（x）=ax-

a

x

-2lnx，(a∈R)
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），再對(duì)a分類討論，二次函數(shù)與△的關(guān)系即可得出其單調(diào)區(qū)間；
（II）利用（I）的結(jié)論，即對(duì)0＜a＜1時(shí)解出ax²-2x+a=0實(shí)數(shù)根，再利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可得出．

解答：解：（I）f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

（x＞0）．
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
②當(dāng)a＞0時(shí)，∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，∴△=4-4a²≤0，
解得a≥1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪[1，+∞）；
（2）由（1）可知：①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
②當(dāng)a≥1時(shí)，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由ax²-2x+a=0，解得x1=

1- 1-a2

a

，x2=

1+ 1-a2

a

．
∴函數(shù)f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．