Question

已知(x2-

1

2x

)n（n∈N^*）的展開式中第四項的系數與第二項的系數的比是7：3．
（Ⅰ）求展開式中各項系數的和；
（Ⅱ）求展開式中常數項．

Answer 1

分析：（I）根據展開式中第四項的系數與第二項的系數的比是7：3，寫出這兩項的系數的表示式，兩者求比，得到n的值，給x賦值得到各項的系數之和．
（II）寫出二項式的展開式，整理成最簡的結果，使得x的指數等于0，求出第幾項，寫出這個常數項．

解答：解：（I）∵展開式中第四項的系數與第二項的系數的比是7：3，
∴

C

3 n

(-

1

2

)3 ：

C

1 n

(-

1

2

)1=7：3，
∴n=9，
∴取x=1得到各項系數和為(1-

1

2

)2=

1

512

（II）∵這個二項式的展開式是

C

r n

(x2)n-r(-

1

2

x)r
要求常數項，只要使得x的指數等于0，
∴常數項

21

16

點評：本題考查二項式定理的性質，是一個基礎題，這種題目一般不會單獨出現，通常與其他的知識點作為綜合題目出現，它只是題目的一個小環節，本題解決的關鍵是寫出正確的通項．