Question

已知橢圓C：

x2

m2

+

y2

n2

=1(0＜m＜n)的離心率為

3

2

，且經過點P(

3

2

，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l：y=kx+t（k≠0）交橢圓C于A、B兩點，D為AB的中點，k_OD為直線OD的斜率，求證：k•k_OD為定值；
（3）在（2）條件下，當t=1時，若

OA

與

OB

的夾角為銳角，試求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據離心率求得n和m的關系式，同時把點P代入橢圓方程求得n和m的另一關系式，聯立求得n和m，則橢圓的方程可得．
（2）把直線與橢圓方程聯立消去y，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而表示出AB中點的坐標，最后分別表示出兩條直線的斜率，求得k•k_OD為定值
（3）把t=1代入（2）中的方程，根據x₁+x₂和x₁x₂的表達式，求得x₁x₂+y₁y₂的表達式，若

OA

與

OB

的夾角為銳角，則有

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0進而求得k的范圍．

解答：解：（1）根據題意有：

n2-m2 n2 = 3 4 3 4m2 + 1 n2 =1

解得：

m2=1 n2=4

∴橢圓C的方程為x2+

y2

4

=1
（2）聯立方程組

y=kx+t x2+ y2 4 =1

消去y得：（4+k²）x²+2kx+t²-4=0①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點坐標為（x₀，y₀）
則有：x0=

x1+x2

2

=

-kt

4+k2

，y0=kx0+t=

4t

4+k2

∴kOD=

y0

x0

=-

4

k

，故k•kOD=-

4

k

•k=-4為定值
（3）當t=1時，①式為（4+k²）x²+2kx-3=0
故x1+x2=

-2k

4+k2

，x1•x2=-

3

k2+4

∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
∴x1x2+y1y2=

1-4k2

k2+4

若

OA

與

OB

的夾角為銳角，則有

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0，
即

1-4k2

k2+4

＞0，解得-

1

2

＜k＜

1

2

，且k≠0，
∴當k∈(-

1

2

，0)∪(0，

1

2

)時，

OA

與

OB

的夾角為銳角

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力．