Question

設M，N為拋物線C：y=x²上的兩個動點，過M，N分別作拋物線C的切線l₁，l₂，與x軸分別交于A，B兩點，且l₁∩l₂=P，AB=1，則
（Ⅰ）求點P的軌跡方程
（Ⅱ）求證：△MNP的面積為一個定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出P點的坐標，M和N的坐標，利用導數求出過M，N的切線方程，聯立后解出P的坐標，同時求出A，B的坐標，然后由AB的距離等于1求出P的軌跡；
（Ⅱ）設出MN的方程，和拋物線聯立后寫出根與系數關系，把P到MN的距離用電M和N的坐標表示，由弦長公式寫出|MN|，代入△MNP的面積公式后整理即可證明△MNP的面積為一個定值．

解答：解：（Ⅰ）設P(x，y)，M(x1，

x

2 1

)，N(x2，

x

2 2

)，
則k=y'=2x，l1：y-

x

2 1

=2x1(x-x1)，即y=2x1x-

x

2 1

…①
同理，y=2x2x-

x

2 2

…②
聯立①，②，得

x= x1+x2 2 y=x1x2

…③
又令①，②式中的y=0得A(

x1

2

，0)，B(

x2

2

，0)
因為|AB|=1，所以得(x1-x2)2=4
即(x1+x2)2-4x1x2=4，代入③式得
所求點P的軌跡方程為：y=x²-1；
（Ⅱ）設MN：y=kx+b，又由y=x²，得x²-kx-b=0
所以x₁+x₂=k，x₁x₂=-b
∴P到MN的距離為d=

|k x1+x2 2 -x1x2+b|

1+k2

|MN|=

1+k2

|x1-x2|        
∴S=

1

2

|MN|d=

1

4

|(x1+x2)2-4x1x2||x1-x2|=2．
∴△MNP的面積為定值2

點評：本題考查了圓錐曲線的軌跡方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，是綜合題，考查了學生靈活處理和解決問題的能力，體現了整體運算思想方法，是難題．