已知函數
，
，且
在點（1，
）處的切線方程為
。
（1）求的解析式；
（2）求函數
的單調遞增區間；
（3）設函數
，若方程
有且僅有四個解，求實數a的取值范圍。
解：（1）
，由條件，得
，即
，
．----------------------4分
（2）由
，其定義域為
，
，
令
，得
（*） -------------------------------6分
①若
，則
，即
的單調遞增區間為
； ……………………7分
②若
，（*）式等價于
，
當
，則
，無解，即無單調增區間，
當
，則
，即的單調遞增區間為
，
當
，則
，即的單調遞增區間為
．------------------10分
（3）
當
時，
，
，
令
，得
，且當
，
在上有極小值，即最小值為
． -------------------11分
當
時，
，
，
令
，得
，
①若
，方程
不可能有四個解；-----------------12分
②若時，當
，當
，
在
上有極小值，即最小值為
，
又
，
的圖象如圖1所示，
從圖象可以看出方程不可能有四個解．----------14分
 |
③若
時，當
，當
，
在上有極大值，即最大值為，
又，的圖象如圖2所示，
從圖象可以看出方程若有四個解，
必須
，
．
綜上所述，滿足條件的實數
的取值范圍是
．
科目：高中數學 來源：2011屆廣東省廣州市普通高中畢業班綜合測試數學理科試題 題型：解答題
（本小題滿分14分）
已知函數
的圖象在點
（
為自然對數的底數）處的切線斜率為3．
（1）求實數
的值；
（2）若
，且
對任意
恒成立，求
的最大值；
（3）當
時，證明
．
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科目：高中數學 來源：2014屆江蘇省高三10月質量檢測文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數
，
，且
在點（1，
）處的切線方程為
。
（1）求的解析式；
（2）求函數
的單調遞增區間；
（3）設函數
，若方程
有且僅有四個解，求實數a的取值范圍。
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科目：高中數學 來源：2014屆河南鄭州第四中學高二下學期期中考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數
．
(Ⅰ)求曲線
在點
處的切線方程；
(Ⅱ)直線
為曲線的切線，且經過原點，求直線的方程及切點坐標．
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科目：高中數學 來源：2010年福建省八縣（市高二下學期期末聯考（文科）數學卷 題型：解答題
（本題滿分14分）已知函數
的圖象在點
處的切線的斜率為
，且在
處取得極小值。
（1）求
的解析式；
（2）已知函數
定義域為實數集
，若存在區間
，使得在
的值域也是，稱區間為函數的“保值區間”．
①當
時，請寫出函數
的一個“保值區間”（不必證明）；
②當
時，問是否存在“保值區間”？若存在，寫出一個“保值區間”并給予證明；若不存在，請說明理由．
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