Question

（2008•如東縣三模）已知向量

a

=(sinx，

1

2

)，

b

=(cosx，-1)．
（1）當

a

⊥

b

時，求x的值．
（2）（文科）求f(x)=(

a

+

b

)•

b

的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）利用

a

⊥

b

?

a

•

b

=0即可得出；
（2）利用向量運算和數量積運算即可得出f（x），再利用正弦函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=sinxcosx-

1

2

=0，∴sin2x=1，∴2x=2kπ+

π

2

，解得x=kπ+

π

4

(k∈Z)．
（2）f（x）=(

a

+

b

)•

b

=(sinx+cosx，-

1

2

)•(cosx，-1)
=sinxcosx+cos²x+

1

2

=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

+

1

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+1，
∵-1≤sin(2x+

π

4

)≤1，
∴-

2

2

+1≤

2

2

sin(2x+

π

4

)+1≤

2

2

+1．
∴f（x）的最小值為1-

2

2

，最大值為1+

2

2

．

點評：熟練掌握

a

⊥

b

?

a

•

b

=0、向量運算和數量積運算、正弦函數的單調性等是解題的關鍵．