Question

已知集合A={x|x²-3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B={x|

x-2a

x-(a2+1)

＜0}，
（1）當a=2時，求A∩B；
（2）求使B⊆A的實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a的值分別代入二次不等式和分式不等式，然后通過求解不等式化簡集合A，B，再運用交集運算求解A∩B；
（2）把集合B化簡后，根據集合A中二次不等式對應二次方程判別式的情況對a進行分類討論，然后借助于區間端點值之間的關系列不等式組求解a的范圍．

解答：解：（1）當a=2時，A={x|x²-3（a+1）x+2（3a+1）＜0}={x|x²-9x+14=0}=（2，7），
B={x|

x-2a

x-(a2+1)

＜0}={x|

x-4

x-5

＜0}=（4，5），
∴A∩B=（4，5）
（2）∵B=（2a，a²+1），
①當a＜

1

3

時，A=（3a+1，2）
要使B⊆A必須

2a≥3a+1 a2+1≤2

，此時a=-1，
②當a=

1

3

時，A=∅，使B⊆A的a不存在．
③a＞

1

3

時，A=（2，3a+1）要使B⊆A，
必須

2a≥2 a2+1≤3a+1

，此時1≤a≤3．
綜上可知，使B⊆A的實數a的范圍為[1，3]∪{-1}．

點評：本題考查了交集及其運算，考查了集合的包含關系及其應用，考查了分類討論的數學思想，解答此題的關鍵是對集合A的討論，此題是中檔題．