Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，四邊形BDEF為矩形，AB=2BF，DE丄平面ABCD，G為EF中點．
（1）求證：CF∥平面ADE；
（2）求證：平面ABG丄平面CDG．

Answer 1

分析：（1）利用平面BCF中，有兩條相交直線BC和BF平行于兩一個平面中的兩條相交直線 AD 和DE，得到平面
BCF∥平面ADE．
（2）由勾股定理 求得GM、GN的長，證明GM⊥GN，利用等腰三江凹形的性質證明GN⊥CD，從而GN⊥AB，
得到 GN垂直于平面ABG，從而證得平面ABG丄平面CDG．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形，四邊形BDEF為矩形，∴BC∥AD，BF∥DE，這樣，平面BCF中，
有兩條相交直線BC，BF平行于兩一個平面中的兩條相交直線 AD，DE，故有平面BCF∥平面ADE，
∴CF∥平面ADE．
（2）取AB的中點M，CD的中點N．∵AB=2BF，設BF=1，則AB=2．∵DE丄平面ABCD，
可得面BDEF⊥面ABCD．設AC 和BD交于點 O，則GO⊥面ABCD．
∴GM=

GO2+OM2

=

2

=GN，又 MN=2，∴由勾股定理可得 GM⊥GN．
由G為EF中點，可得GC=GD=

3

，∴GN⊥CD，GN⊥AB．
這樣面CDG中的直線GN垂直于平面GAB內的兩條相交直線AB和 GM，
∴平面ABG丄平面CDG．

點評：本題考查證明線面平行、面面垂直的方法，線面平行、面面垂直的判定定理，證明GN垂直于平面ABG，是解題的難點和關鍵，屬于中檔題．