Question

設過點M（-1，0）的直線與橢圓x²+3y²=a²（a＞0）相交于A，B兩個不同的點，且=2．記O為坐標原點．求△OAB的面積取得最大值時的橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用根與系數的關系及向量相等得到y₁，y₂的關系及可用k來表示，再利用三角形的面積公式，從而得△OAB的面積 S=|OC|•|y₂-y₁|及基本不等式的性質，即可得出取得面積最大值時的k的值，進而得到a的值．
解答：證明：由y=k（x+1）（k≠0）得x=y-1．
并代入橢圓方程x²+3y²=a²消去x得（3+k²）y²-6ky+3k²-k²a²=0   ①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由①，得y₁+y₂=，②
∵=2．而點M（-1，0），
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
得y₁=-2y₂代入②，得y₂=，③
∴△OAB的面積 S=|OC|•|y₂-y₁|=|y₂|=≤=，
當且僅當k²=3，即k=±時取等號．
把k的值代人③可得y₂=±，這兩組值分別代入①，均可解出a²=15．
∴△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是x²+3y²=15．
點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、基本不等式、橢圓方程等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．