Question

空間內有n個平面，設這n個平面最多將空間分成a_n個部分．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）寫出a_n關于n的表達式并用數學歸納法證明．

Answer 1

（1）一條直線把平面分成2部分，所以a₁=2，
兩條直線把平面最多分成4部分，所以a₂=4，
三條直線把平面最多分成8部分，所以a₃=8，
四條直線最多分成15部分，所以a₄=15；
（2）由（1）可知，an=

1

6

(n3+5n+6)．證明如下：
當n=1時顯然成立，
設n=k（k≥1，k∈N^*）時結論成立，即ak=

1

6

(k3+5k+6)，
則當n=k+1時，再添上第k+1個平面，因為它和前k個平面都相交，所以可得k條互不平行且不共點的交線，且其中任3條直線不共點，這k條交線可以把第k+1個平面劃最多分成

1

2

[(k+1)2-(k+1)+2)]個部分，每個部分把它所在的原有空間區域劃分成兩個區域．因此，空間區域的總數增加了

1

2

[(k+1)2-(k+1)+2)]個，
∴ak+1=ak+

1

2

[(k+1)2-(k+1)+2)]=

1

6

(k3+5k+6)+

1

2

[(k+1)2-(k+1)+2)]=

1

6

[(k+1)3+5(k+1)+6)]，
即當n=k+1時，結論也成立．
綜上，對?n∈N^*，an=

1

6

(n3+5n+6)．