Question

13．已知焦點在y軸的橢圓C上、下焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，且長軸長為4，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直線y=mx+1與橢圓將于A、B兩點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，求m的值；
（3）已知真命題：“如果點P（x₀，y₀）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，那么過點P的橢圓的切線方程為$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$=1．”利用上述結(jié)論，解答下面問題：
若點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，過點P作斜率為k的直線l，使l與橢圓C有且只有一個公共點，設直線的PF₁，PF₂斜率分別為k₁，k₂．若k≠0，試證明k（k₁+k₂）為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （1）由題意設橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．可得：2a=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解出即可得出．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（4+m²）x²+2mx-3=0，由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁y₂=（1+m²）x₁•x₂+m（x₁+x₂）+1=0，把根與系數(shù)的關系代入即可得出m．
（3）設P（x₀，y₀），則經(jīng)過點P的橢圓的切線方程為：${x}_{0}x+\frac{{y}_{0}y}{4}$=1，可得k=-$\frac{4{x}_{0}}{{y}_{0}}$．k₁+k₂=$\frac{{y}_{0}+\sqrt{3}}{{x}_{0}}$+$\frac{{y}_{0}-\sqrt{3}}{{x}_{0}}$=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，即可得出k（k₁+k₂）為定值．

解答 解：（1）由題意設橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
可得：2a=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+1}\\{{y}^{2}+4{x}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化為：（4+m²）x²+2mx-3=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2m}{4+{m}^{2}}$，x₁•x₂=-$\frac{3}{4+{m}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁y₂=x₁•x₂+（mx₁+1）（mx₂+1）
=（1+m²）x₁•x₂+m（x₁+x₂）+1=0，
∴$\frac{-3（1+{m}^{2}）}{4+{m}^{2}}$-$\frac{2{m}^{2}}{4+{m}^{2}}$+1=0，化為：4m²=1，解得m=$±\frac{1}{2}$．
（3）證明：設P（x₀，y₀），則經(jīng)過點P的橢圓的切線方程為：${x}_{0}x+\frac{{y}_{0}y}{4}$=1，
則k=-$\frac{4{x}_{0}}{{y}_{0}}$．
k₁+k₂=$\frac{{y}_{0}+\sqrt{3}}{{x}_{0}}$+$\frac{{y}_{0}-\sqrt{3}}{{x}_{0}}$=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∴k（k₁+k₂）=-$\frac{4{x}_{0}}{{y}_{0}}$•$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-8為定值．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的運算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、斜率計算公式、橢圓的切線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．