Question

14．已知點F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，且過點F的直線y=2x-4與此雙曲線只有一個交點，則雙曲線的方程為$\frac{5{x}^{2}}{4}$-$\frac{5{y}^{2}}{16}$=1．

Answer 1

分析 由題意可知，F（2，0），直線y=2x-4與雙曲線的其中一條漸近線平行，根據斜率之間的關系，即可求出a，b的值，即可求出答案．

解答 解：由2x-4=0，解得x=2，
∴F（2，0），
∵過點F的直線y=2x-4與此雙曲線只有一個交點，
∴此直線與漸近線平行，漸近線方程為y=±$\frac{b}{a}$x，
∴$\frac{b}{a}$=2，
即b=2a，
由a²+b²=c²，
得a²=$\frac{4}{5}$，b²=$\frac{16}{5}$，
∴雙曲線的方程為$\frac{5{x}^{2}}{4}$-$\frac{5{y}^{2}}{16}$=1，
故答案為：$\frac{5{x}^{2}}{4}$-$\frac{5{y}^{2}}{16}$=1

點評 本題主要考查雙曲線方程的計算，根據雙曲線漸近線的性質建立條件關系是解決本題的關鍵．