Question

已知等比數列{a_n}中，a₁=2，a₄=16．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設等差數列{b_n}中，b₂=a₂，b₉=a₅，求數列{b_n}的通項公式；
（3）在（2）問的條件下求數列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等比數列的通項公式即可得出；
（2）利用等差數列的通項公式即可得出；
（30利用“錯位相減法”和等比數列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，∵a₁=2，a₄=16，∴2q³=16，解得q=2．
∴an=2×2n-1=2n．
（2）設等差數列{b_n}的公差為d，
∵b₂=a₂，b₉=a₅，
∴

b1+d=22 b1+8d=25

，解得

b1=0 d=4

．
∴b_n=0+（n-1）×4=4n-4．
（3）∵an•bn=(4n-4)•2n=（n-1）•2ⁿ⁺²．
∴Sn=0+24+2•25+3•26+…+（n-1）•2ⁿ⁺²，
2Sn=25+2•26+…+(n-2)•2n+2+（n-1）•2ⁿ⁺³，
∴-S_n=2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²-（n-1）•2ⁿ⁺³=

23(2n-1)

2-1

-23-(n-1)•2n+3=2ⁿ⁺³-2⁴-（n-1）•2ⁿ⁺³=（2-n）•2ⁿ⁺³-16．
∴Sn=16+(n-2)•2n+3．

點評：本題考查了等比數列與等比數列的通項公式、“錯位相減法”和等比數列的前n項和公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．