Question

一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個單位圓（半徑為1的圓）上爬動，若兩只螞蟻均從點A（1，0）同時逆時針勻速爬動，若紅螞蟻每秒爬過α角，黑螞蟻每秒爬過β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果兩只螞蟻都在第14秒時回到A點，并且在第2秒時均位于第二象限，求α，β的值．

Answer 1

分析：確定α=

m

7

•180°，β=

n

7

•180°，m，n∈Z，利用2α，2β均為鈍角，即可得到結論．

解答：解：根據題意可知：14α，14β均為360°的整數倍，故可設14α=m•360°，m∈Z，14β=n•360°，n∈Z，從而可知α=

m

7

•180°，β=

n

7

•180°，m，n∈Z．
又由兩只螞蟻在第2秒時均位于第二象限，則2α，2β在第二象限．
又0°＜α＜β＜180°，從而可得0°＜2α＜2β＜360°，
因此2α，2β均為鈍角，即90°＜2α＜2β＜180°．
于是45°＜α＜90°，45°＜β＜90°．
∴45°＜

m

7

•180°＜90°，45°＜

n

7

•180°＜90°，
即

7

4

＜m＜

7

2

，

7

4

＜n＜

7

2

．
又∵α＜β，∴m＜n，從而可得m=2，n=3．
即α=（

360

7

）°，β=（

540

7

）°．

點評：本題考查任意角的概念，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．