Question

（2012•江西模擬）已知向量

a

=（

3

cosx，0），

b

=（0，sinx）．記函數f（x）=（

a

+

b

）²十

3

sin2x．
（I）求函數f（x）的最小值及取最小值時x的集合；
（II）求函數f （x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量的坐標運算得（

a

+

b

）²=1+2cos²x，再結合二倍角的余弦公式和輔助角公式化簡，得到f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2，最后根據正弦函數最值的結論，可得f（x）的最小值及取最小值時x的集合；
（2）根據（1）化簡得的表達式，列出不等式-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解此不等式再將它變成區間，即可得到
函數f （x）的單調遞增區間．

解答：解：（1）∵

a

=（

3

cosx，0），

b

=（0，sinx）
∴

a

+

b

=（

3

cosx，sinx），得（

a

+

b

）²=3cos²x+sin²x=1+2cos²x
f（x）=（

a

+

b

）²十

3

sin2x=1+2cos²x+

3

sin2x
=cos2x+

3

sin2x+2=2sin（2x+

π

6

）+2
∴當2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），即x=-

π

3

+kπ（k∈Z）時，f（x）有最小值為0；
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）
∴函數f （x）的單調遞增區間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，其中k∈Z．

點評：本題以向量為載體，求三角函數的最值并討論單調區間，著重考查了平面向量的坐標運算、三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．