Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，公差d≠0，a₂²=a₁•a₄，設數(shù)列的前n項和為S_n．
（1）解不等式：，求正整數(shù)m，n的值；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=4，b_n+1=b_n²-a_n•b_n+1，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，可求出a_n=n，從而不等式化為，整理為，得出m=2，n=1
（2）先用數(shù)學歸納法證明b_n＞n+2，由此b_k+1=b_k²-k•b_k+1=b_k（b_k-k）+1＞2b_k+1，兩邊同時加上1，并整理得1+b_k+1＞2（1+b_k ），得出1+b_n＞2（1+b^n-1）＞2²（1-b_n-2）＞…＞2^n-1（1+b₁）=5•2^n-1，得出^{＜×（）n-1}，對不等式的右邊各項放縮，再結合等比數(shù)列求和公式，計算化簡，可以證明．
解答：解：（1）由題意，∵a₂²=a₁•a₄，
∴（1+d）²=1+3d，∴d=1
∴a_n=n，
∴
∵
∴
∴
∴m=2，n=1；
（2）先用數(shù)學歸納法證明b_n＞n+2
當n=1時，b₁=4＞1+2，不等式成立．
假設n=k（k∈N，k≥1）時，不等式成立，即b_k＞k+2．則當n=k+1時，b_k+1=b_k²-k•b_k+1=b_k（b_k-k）+1＞（k+2）×2+1=2k+5＞（k+1）+2，即當n=k+1時，不等式也成立．
所以對于任意正整數(shù)n均有b_n＞n+2
 由此b_k+1=b_k²-k•b_k+1=b_k（b_k-k）+1＞2b_k+1，兩邊同時加上1，并整理得1+b_k+1＞2（1+b_k ），∴1+b_n＞2（1+b^n-1）＞2²（1-b_n-2）＞…＞2^n-1（1+b₁）=5•2^n-1，^{＜×（）n-1}，
∴（1+++）=×=[1-]＜．
點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式，前n項和公式，放縮法證明不等式，考查分析、構造、轉化、計算能力．