Question

如圖，正三棱錐A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上．并且（0＜λ＜+∞），設α為異面直線EF與AC所成的角，β為異面直線EF與BD所成的角，則α+β的值是（ ）

A．
B．
C．
D．與λ的值有關

Answer 1

【答案】分析：先證明正三棱錐的對棱AC與BD垂直，此結論由線面垂直得來，再由異面直線所成的角的定義，在同一平面內找到α與β，最后在三角形中發現α+β=，從而做出正確選擇．
解答：解：如圖，取線段BC上一點H，使，取BD中點O，連接AO，CO
∵正三棱錐A-BCD中每個側面均為等腰三角形，底面△BCD為正三角形，∴BD⊥AO，BD⊥CO，∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，∵AC?平面AOC∴BD⊥AC
∵，，∴EH∥AC，∵，，∴HF∥BD
∴∠HEF就是異面直線EF與AC所成的角，∠HFE就是異面直線EF與BD所成的角，∴∠EHF就是異面直線BD與AC所成的角，
∴α=∠HEF，β=∠HFE，∠EHF=90°
∴α+β=，
故選C
點評：本題考察了異面直線所成的角的作法和算法，正三棱錐的性質，解題時要認真體會將空間問題轉化為平面問題的過程