Question

16．經過拋物線y=4x²的焦點作直線l交該拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，若y₁+y₂=2，則線段AB的長等于$\frac{17}{8}$．

Answer 1

分析 先根據拋物線方程求出焦點坐標，進而可設出直線方程，然后聯立直線與拋物線消去y得到關于x的一元二次方程，根據韋達定理得到兩根之和與兩根之積，再由兩點間的距離公式表示出|AB|，將得到的兩根之和與兩根之積即可得到答案．

解答 解：y=4x²的焦點為（0，$\frac{1}{16}$），設過焦點（0，$\frac{1}{16}$）的直線為y=kx+$\frac{1}{16}$，
則令kx+$\frac{1}{16}$=4x²，即64x²-16kx-1=0，由韋達定理得x₁+x₂=$\frac{1}{4}$k，x₁x₂=-$\frac{1}{64}$
y₁=kx₁+$\frac{1}{16}$，y₂=kx₂+$\frac{1}{16}$，
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{4}$k²+$\frac{1}{8}$=2，所以k²=$\frac{15}{2}$，
所以|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+\frac{15}{2}}$•$\sqrt{\frac{1}{16}•\frac{15}{2}+4•\frac{1}{64}}$=$\frac{17}{8}$．
故答案為：$\frac{17}{8}$．

點評 本題主要考查拋物線的基本性質和兩點間的距離公式的應用，屬于中檔題．