如圖，在四棱錐
中，
，
，
為正三角形，且平面
平面
．
（1）證明：
；
（2）求二面角
的余弦值．
（1）證明見解析；（2） 
．
解析試題分析：（1）取
的中點
，然后利用矩形及正三角形的性質可證明
，
，從而可證明結果；（2）可考慮分別以
，
為
軸，
軸，
軸建立空間直線坐標系，通過求兩個平面的法向量的夾角來求二面角的余弦值．或考慮通過過點作
，然后證明
為所求二面角的一個平面角，再在
中進行計算．
（1）證明：取的中點，連接
，
∵為正三角形，∴
．
又∵在四邊形
中，，∴
,且
，
∴四邊形ABCO為平行四邊形，∴
，
∴
，∴．
（2）(法一)：由（1）知，且平面平面∴
平面，所以分別以，為軸，軸，軸建立如圖，
所示的直角坐標系，并設
，則
，
,
∴
，
，
，
，
，
∴
，
,
,
．
設平面
，平面
的法向量分別為
，
則
∴
∴分別取平面，平面的一個法向量
，
∴
，
∴二面角
的余弦值為．
(法一)：由（1）知，且平面平面，∴
平面
一線名師提優試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點.
（1）求證：AB1⊥面A1BD；
（2）求二面角A－A1D－B的余弦值；
（3）求點C到平面A1BD的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（2012•廣東）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）證明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分別是PD，BC的中點．
（1）求證：MQ∥平面PAB；
（2）若AN⊥PC，垂足為N，求證：MN⊥PD．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=a，
，四邊形ACFE是矩形，且平面
平面ABCD，點M在線段EF上.
（1）求證：
平面ACFE；
（2）當EM為何值時，AM//平面BDF？證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點．
(1)證明B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1CEC1的正弦值；
(3)設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為
，求線段AM的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖1，在直角梯形
中，
，
，且
．
現以
為一邊向梯形外作正方形
，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，
為
的中點，如圖2．
（1）求證：
∥平面
;
（2）求證：
;
（3）求點
到平面的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知多面體ABCDFE中， 四邊形ABCD為矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD， O、M分別為AB、FC的中點，且AB = 2，AD =" EF" = 1.
（1）求證：AF⊥平面FBC；
（2）求證：OM∥平面DAF；
（3）設平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個錐體的體積分別為VF-ABCD，VF-CBE，求VF-ABCD∶VF-CBE的值.
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的底面
為正方形，
，
為棱
的中點.
；
為
中點，
為棱
上一點，且
，求證：
.