Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，O為BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑作半圓與BC邊、AB邊分別交于點(diǎn)D、E，連接DE。

（1）若BD=6，求線段DE的長；

（2）過點(diǎn)E作半圓O的切線，交AC于點(diǎn)F，

     證明：AF=EF。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）DE＝＝．  （Ⅱ）見解析

【解析】本試題主要是考查了平面幾何中圓的性質(zhì)和三角形相似的綜合運(yùn)用。利用

（1）因?yàn)锽D=6，利用相似比線段DE的長；

（2）過點(diǎn)E作半圓O的切線，交AC于點(diǎn)F，結(jié)合弦切線定理，表示出角的關(guān)系，以及三角形的形狀，進(jìn)而得證。

解：（Ⅰ）∵BD是直徑，∴∠DEB＝90º，∴＝＝，∵BD＝6，∴BE＝，

在Rt△BDE中，DE＝＝．           …5分

（Ⅱ）連結(jié)OE，

∵EF為切線，∴∠OEF＝90º，∴∠AEF＋∠OEB＝90º，又∵∠C＝90º，∴∠A＋∠B＝90º，又∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠B，∴∠AEF＝∠A，∴AF＝EF．