Question

已知曲線C：x²+y²+2kx+（4k+10）y+10k+20=0，其中常數k≠-1；
（1）求證：對任意的k，曲線C是圓，并且圓心在同一條直線上；
（2）證明：曲線C過定點；
（3）若曲線C與x軸相切，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把曲線方程配方后，根據常數k≠-1，得到二元一次方程表示曲線是圓，找出圓心坐標，根據圓心坐標的特點確定出圓心所在直線的方程；
（2）把曲線方程整理為k（2x+4y+10）+（x²+y²+10y+20）=0，把k看作未知數，x與y看作常數，根據多項式的值為0，各項的系數都為0列出關于x與y的方程組，求出方程組的解集得到x與y的值，進而確定出曲線方程恒過的定點坐標，得證；
（3）由圓與x軸相切，得到圓心到x軸的距離等于圓的半徑，即圓心的縱坐標的絕對值等于圓的半徑，列出關于k的方程，求出方程的解，即可得到滿足題意k的值．
解答：解：（1）曲線分成化簡得：（x+k）²+（y+2k+5）²=5（k+1）²，
∵k≠-1，∴r²=5（k+1）²＞0，故曲線C都是圓，
∴圓心（-k，-2k-5），設x=-k，y=-2k-5，
∴y=2x-5，
則圓心在同一直線y=2x-5上；
（2）將x²+y²+2kx+（4k+10）y+10k+20=0整理為：
k（2x+4y+10）+（x²+y²+10y+20）=0，
∴，
解得：，
曲線C過定點（1，-3）；
（3）∵曲線C與x軸相切，
∴，
解得：，
則曲線C與x軸相切時k=5±3．
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：恒過定點的曲線方程，二元二次方程表示圓的條件，圓的標準方程，以及直線與圓相切的性質，是一道綜合性較強的題．