Question

如圖，在矩形ABCD內(nèi)，兩個(gè)圓M、N分別與矩形兩邊相切，且兩圓互相外切．若矩形的長和寬分別為9和8，試把兩個(gè)圓的面積之和S表示為圓M半徑x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由圖形利用勾股定理建立兩圓半徑的關(guān)系式，利用面積公式得到面積關(guān)于關(guān)于圓M半徑x的函數(shù)，利用二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最值的求法來求得最值．

解答：解：設(shè)圓N的半徑為r，
過點(diǎn)M，N分別作矩形兩邊的平行線，易知：[9-（x+r）]²+[8-（x+r）]²=（x+r）²，
解得：x+r=5或x+r=29（舍）
因而S=πx²+πr²=π（2x²-10x+25）．
又

2x≤8 2r≤8 r=5-x

，則1≤x≤4，
易知：當(dāng)x=

5

2

時(shí)，Smin=

25

2

π；
當(dāng)x=1或x=4時(shí)，S_max=17π．
故Smin=

25

2

π，S_max=17π．

點(diǎn)評(píng)：考查幾何圖形的位置關(guān)系轉(zhuǎn)換為函數(shù)的能力與一元二次函數(shù)求最值的方法．