Question

已知復數z=x+yi（x，y∈R）且|z-3-4i|=2，則

y

x

的取值范圍為

[

60- 21

25

，

204-4 21

125

]

．

Answer 1

分析：由z=x+yi（x，y∈R），知z-3-4i=（x-3）+（y-4）i，由|z-3-4i|=2，知

(x-3)2+(y-4)2

=

x2-6x+9+y2-8y+16

=2，故x²+y²-6x-8y+21=0，所以|z-3-4i|=2是以（3，4）為圓心，2為半徑的圓，

y

x

是圓上的點與原點的連線的斜率，由此能夠求出

y

x

的取值范圍．

解答：解：∵z=x+yi（x，y∈R），
∴z-3-4i=x+yi-3-4i
=（x-3）+（y-4）i，
∵|z-3-4i|=2，
∴

(x-3)2+(y-4)2

=

x2-6x+9+y2-8y+16

=2，
∴x²+y²-6x-8y+21=0，
∵圓心P（3，4），半徑r=

1

2

36+64-84

=2，
|z-3-4i|=2是以（3，4）為圓心，2為半徑的圓，
∴

y

x

是圓上的點與原點的連線的斜率，
∵|OP|=

9+16

=5，|PB|=|PA|=2，
∴|OB|=|OA|=

21

，
設直線OA的傾斜角為α，直線OP的傾斜角為β，

∴tan∠AOP=tan∠BOP=

2

21

，tan（α+∠AOP）=tanβ=

4

3

，
∴

tanα+tan∠AOP

1-tanα•tan∠AOP

=

tanα+ 2 21

1-tanα• 2 21

=

4

3

，
解得tanα=

60- 21

25

．
∵tan（β+∠BOP）=

tanβ+tan∠BOP

1-tanβtan∠BOP

=

4 3 + 2 21

1- 4 3 × 2 21

=

204-4 21

125

．
∴

y

x

的取值范圍為[

60- 21

25

，

204-4 21

125

]．
故答案為：[

60- 21

25

，

204-4 21

125

]．

點評：本題考查復數的表示方法和幾何意義，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意三角函數性質的合理運用．