Question

7名身高各不相同的學生按下列要求從左到右站成一排，求出各條件下的站法種數．（要求寫出必要的解答過程，最后結果用數字表示）
（1）甲不能站在兩端；
（2）甲不能站在左端，乙不能站在右端；
（3）甲乙要相鄰，且丙丁要隔開；
（4）從正中間到兩邊都按從高到矮的順序站立．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為甲不能站在兩端，所以先從中間5位中選一位排甲，有C₅¹種不同排法，再排其他人，沒有限制，有A₆⁶種不同排法，最后把兩步方法數相乘即可．
（2）因為甲不排在左端，乙不排在右端，，所以先排甲乙，而甲若排在右端，則乙就沒有限制，所以可按甲的排法分類，分為兩類，一類是甲排在右端，其他人沒有限制，有A₆⁶種排法，一類是甲不排在右端，則甲從二到五位之間選一個，有C₅¹種選法，再排乙，不能安排在右端，所以從剩下的5個位中選一位，有C₅¹中選法，最后排其他人，沒有限制，有A₅⁵種排法，最后把幾種方法相乘，再把兩類相加即可．
（3）甲乙要相鄰，可用捆綁法，把甲乙看成一個整體，和其他人排列，又因為丙丁要隔開，所以丙丁用插空法，先排其他人，再讓丙丁插孔即可．
（4）若正中間到兩邊都按從高到矮的順序站立．則中間確定，只需選3人放在左邊，則右邊也就確定了．
解答：解：（1））∵甲不能站在兩端，∴先排甲，再排其他人，有A₅¹A₆⁶=3600種
（2）按甲的選擇分類，
第一類，甲在右端，和甲不在右端，甲在右端，則乙沒限制，有A₆⁶=720種
第二類甲不在右端，則乙也不在右端，先排甲，再排乙，最后排其他人有C₅¹C₅¹A₅⁵=3000種
∴總的方法數為720+3000=3720種
（3）甲乙要相鄰，且丙丁要隔開有A₂²A₄⁴A₃²=960種．
（4）從正中間到兩邊都按從高到矮的順序站立有C₆³=20種
點評：本題考查了排列中的一些常見題型，考查面較全，應該掌握．