Question

已知大于1的正數x，y，z滿足．
（1）求證：．
（2）求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可以將不等式左邊乘以）[（x+2y+3z）+（y+2z+3x）+（z+2x+3y）]然后利用柯西不等式進行放縮求解；
（2）根據對數函數的性質，然后再利用柯西不等式進行放縮，注意不等式取等號的條件進行證明；
解答：解：（1）由柯西不等式得，
（）[（x+2y+3z）+（y+2z+3x）+（z+2x+3y）]≥（x+y+z）²=27
得：；
（2）∵=++，
由柯西不等式得：（++）（log₃（xy）+log₃（yz）+log₃（zx）），
由柯西不等式得：（++）（log₃（xy）+log₃（yz）+log₃（zx））≥9
所以，，
．
∴．
∴．得
所以，當且僅當時，等號成立．
故所求的最小值是3．
點評：此題主要考查柯西不等式的應用，充分利用好條件，進行拆分，是解題的關鍵，此題是一道中檔題；