Question

如圖，斜率為1的直線過拋物線Ω：y²=2px（p＞0）的焦點F，與拋物線交于兩點A，B，
（1）若|AB|=8，求拋物線Ω的方程；
（2）設C為拋物線弧AB上的動點（不包括A，B兩點），求△ABC的面積S的最大值；
（3）設P是拋物線Ω上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別交拋物線的準線于M，N兩點，證明M，N兩點的縱坐標之積為定值（僅與p有關）

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得出直線的方程，與拋物線的方程聯立，再利用根與系數的關系及拋物線的定義即可求出其方程；
（2）當過點C的切線與AB平行時三角形ABC的面積最大，求出弦長|AB|及兩平行線間的距離即可；
（3）根據點A、B、P在拋物線上可設出其坐標，利用點斜式分別寫出直線PA、PB的方程，進而得出點M、N的坐標，再利用（1）的結論及根與系數的關系即可證明結論．
解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵直線l斜率為1且過焦點F，∴直線l的方程為．
聯立，消去y得到關于x的方程，
由題意，△=9p²-p²＞0．
由根與系數的關系得x₁+x₂=3p，．
由拋物線的定義可得：|AB|=xx₁+x₂+p=4p，又|AB|=8，∴4p=8，∴p=2．
因此所求的拋物線方程為y²=4x．
（2）由題意可知：當過點C的切線與AB平行時三角形ABC的面積最大，
設此切線為y=x+t，與拋物線方程聯立得，消去y得到關于x的方程x²+（2t-2p）x+t²=0，
∴△=（2tt-2p）²-4t²=0，解得，∴切線為．
因此切線與直線AB的距離d==．
∴△ABC的最大面積==．
（3）設A，，P．
則直線PA的方程為，化為，
令，則y_M=，
同理可得，
∴y_M•y_N=，
由（1）可得：y²-2py-p²=0，
∴y₁+y₂=2p，．
∴y_M•y_N==-p²為定值．
點評：熟練掌握直線的點斜式方程、拋物線的定義、直線與拋物線方程聯立消去一個未知數后得到的一元二次方程的根與系數的關系、切線的性質及兩平行線間的距離是解題的關鍵．