Question

已知拋物線y=x²上有一條長為2的動弦AB，則AB中點M到x軸的最短距離為

3

4

．

Answer 1

分析：設直線AB的方程為y=kx+b，與拋物線方程聯立得到△＞0即根與系數的關系，再利用中點坐標公式和基本不等式即可得出．

解答：解：設直線AB的方程為y=kx+b，聯立

y=kx+b y=x2

，化為x²-kx-b=0，
由題意可得△=k²+4b＞0．
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-b．
∵|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)(k2+4b)

=2，
∴b=

4-k2-k4

4(1+k2)

．
AB中點M到x軸的距離=

y1+y2

2

=

x 2 1 + x 2 2

2

=

(x1+x2)2-2x1x2

2

=

k2+2b

2

=

k2+ 4-k2-k4 2(1+k2)

2

=

1

4

(k2+1+

4

1+k2

-1)≥

1

4

(2

(k2+1)• 4 k2+1

-1)=

3

4

．
當且僅當k=±1是取等號．
因此AB中點M到x軸的最短距離為

3

4

．
故答案為

3

4

．

點評：熟練掌握拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為與拋物線方程聯立得到△＞0即根與系數的關系、中點坐標公式和基本不等式等是解題的關鍵．