Question

設S為復數集C的非空子集．若對任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，則稱S為封閉集．下列命題：
①集合S={a+bi|（a，b為整數，i為虛數單位）}為封閉集；
②若S為封閉集，則一定有0∈S；
③封閉集一定是無限集；
④若S為封閉集，則滿足S⊆T⊆C的任意集合T也是封閉集．
其中真命題是    ．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

【答案】分析：由題意直接驗證①即可判斷正誤；令x=y可推出②是正確的；找出反例集合S={0}，即可判斷③的錯誤．S={0}，T={0，1}，推出-1不屬于T，判斷④是錯誤的．
解答：解：兩個復數是和是復數，兩個復數的差也是復數，所以集合S={a+bi|（a，b為整數，i為虛數單位）}為封閉集，①正確．
當S為封閉集時，因為x-y∈S，取x=y，得0∈S，②正確
對于集合S={0}，顯然滿足所有條件，但S是有限集，③錯誤
取S={0}，T={0，1}，滿足S⊆T⊆C，但由于0-1=-1不屬于T，故T不是封閉集，④錯誤．
點評：本題考查復數的基本概念，集合的子集，集合的包含關系判斷及應用，是中檔題．