Question

解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

已知函數f(x)＝mx³－3(m＋1)x²＋3(m＋2)x＋1，其中m∈R．

(Ⅰ)若m＜0，求f(x)的單調區間；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，當x∈[－1，1]時，函數y＝f(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍；

(Ⅲ)設g(x)＝mx³－(3m＋2)x²＋3mx＋4lnx＋m＋1，問是否存在實數m，使得y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∴＝　　2分 　　當時，有，當變化時，與的變化如下表： 　　4分 　　故有上表知，當時，在單調遞減， 　　在單調遞增，在上單調遞減．　　5分 　　(Ⅱ)由已知得，即 　　又，所以()　�、佟　�6分 　　設，其函數開口向上，由題意知①式恒成立， 　　∴　　8分 　　解之得 　　又　　所以的取值范圍為　　9分 　　(Ⅲ)令，則 　　因為，要使函數與函數有且僅有2個不同的交點，則函數的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點 　　 　　當時，是增函數； 　　當時，是減函數 　　當時，是增函數 　　∴有極大值有極小值　　12分 　　又因為當充分接近0時，；當充分大時， 　　所以要使有且僅有兩個不同的正根，必須且只須 　　 　　即， 　　∴或 　　∴當或時，函數f(x)與g(x)的圖象有且只有兩個不同交點． 　　14分