Question

在△ABC中，若A=60°，BC=

3

，則△ABC周長的最大值為

3

3

．

Answer 1

分析：根據余弦定理，算出（AB+AC）²=3+3AB•AC，再利用基本不等式AB•AC≤[

1

2

（AB+AC）]²加以計算，可得AB+AC≤2

3

，即可得到△ABC周長的最大值為3

3

．

解答：解：∵在△ABC中，A=60°，BC=

3

，
∴由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA，
即3=AB²+AC²-2AB•ACcos60°，化簡得（AB+AC）²=3+3AB•AC
∵AB•AC≤[

1

2

（AB+AC）]²，
∴（AB+AC）²≤3+

1

4

（AB+AC）²，解得（AB+AC）²≤12，
由此可得AB+AC≤2

3

，△ABC周長AB+AC+BC≤3

3

即當且僅當AB=AC=

3

時，△ABC周長的最大值為3

3

，
故答案為：3

3

點評：本題給出三角形的一邊和它的對角，求周長的最大值．著重考查了用余弦定理解三角形和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．