Question

【題目】如圖，三棱錐中，兩兩垂直，，，分別是的中點.

（1）證明：平面面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由中位線定理證得，由線面平行的判定定理說明平面，同理可證平面，再由面面平行的判定定理說明平面面；

（2）由三棱錐中，兩兩垂直，即可以為坐標原點，以為坐標軸建立空間直角坐標系，分別表示點P,A,B,F的坐標，進而求得與面的法向量，設與面所成角為，由算得答案.

（1）證明：∵分別是的中點，

∴，又平面，平面

∴平面，

同理可得：平面，

又平面，平面，，

∴平面平面.

（2）以為坐標原點，以為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示：

則，，，，

∴，，，

設平面的法向量，則，

∴，令可得.

∴.

設與面所成角為，則.

∴與面所成角的正弦值為.