Question

已知1≤lg

x

y

≤2，2≤lg

x2

y

≤3，求lg

x2

3 y

的范圍．

Answer 1

分析：要求lg

x2

3 y

的范圍，可先將lg

x2

3 y

用lg

x

y

和lg

x2

y

表示，再根據1≤lg

x

y

≤2，2≤lg

x2

y

≤3結合不等式的性質解決問題

解答：解：令lg

x2

3 y

=a•lg

x

y

+b•lg

x2

y

即2lgx-

1

3

lgy=a(lgx-lgy)+b(2lgx-

1

2

lgy)
即

2=a+2b 1 3 =a+ 1 2 b

解得

a=- 2 9 b= 10 9

∵-

4

9

≤-

2

9

lg

x

y

≤-

2

9

，

20

9

≤

10

9

lg

x2

y

≤

30

9

∴

16

9

≤lg

x2

3 y

≤

28

9

點評：由a＜f₁（x₁，y₁）＜b，c＜f₂（x₁，y₁）＜d，求g（x₁，y₁）的取值范圍，可利用待定系數法解決，即設g（x₁，y₁）=pf₁（x₁，y₁）+qf₂（x₁，y₁），用恒等變形求得p，q，再利用不等式的性質求得 g（x₁，y₁）的范圍．此外，本例也可用線性規劃的方法來求解．