Question

已知函數f（x）=x²+ax+blnx（x＞0，實數a，b為常數）．
（Ⅰ）若a=1，b=-1，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若a+b=-2，討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出導函數的根，判斷導函數左右兩邊的符號，得函數的單調性，據極值的定義求出極值．
（Ⅱ）求出導函數的根，討論根在不在定義域內；若根在定義域內，討論兩根的大��；判斷根左右兩邊導函數的符號，據單調性與導函數的關系求出單調性．
解答：解：（Ⅰ）函數f（x）=x²+x-lnx，則f′（x）=2x+1-，
令f′（x）=0，得x=-1（舍去），x=．
當0＜x＜時，f′（x）＜0，函數單調遞減；
當x＞時，f′（x）＞0，函數單調遞增；
∴f（x）在x=處取得極小值+ln2．

（Ⅱ）由于a+b=-2，則a=-2-b，從而f（x）=x²-（2+b）x+blnx，
則f′（x）=2x-（2+b）+=
令f′（x），得x₁=，x₂=1．
1、當≤0，即b＜0時，函數f（x）的單調遞減區間為（0，1），
單調遞增區間為（1，+∞）；
2、當0＜＜1，即0＜b＜2時，列表如下：
所以，函數f（x）的單調遞增區間為（0，），（1，+∞），
單調遞減區間為（，1）；
3、當=1，即b=2時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；
4、當＞1，即b＞2時，列表如下：

所以函數f（x）的單調遞增區間為（0，1），（，+∞），
單調遞減區間為（1，）；
綜上：當≤0，即b＜0時，
函數f（x）的單調遞減區間為（0，1），
單調遞增區間為（1，+∞）；
當0＜＜1，即0＜b＜2時，
函數f（x）的單調遞增區間為（0，），（1，+∞），
單調遞減區間為（，1）；
當=1，即b=2時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；
當＞1，即b＞2時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，1），（+∞），
單調遞減區間為（1，）．
點評：本題考查利用導數研究函數的性質：求極值，求單調區間．考查分類討論時注意分類的起點．