Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c有極大值f（α）和極小值f（β）．
（1）求f（α）+f（β）的值；
（2）設(shè)曲線y=f（x）的極值點為A、B，求證：線段AB的中點在y=f（x）上．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的導函數(shù)令其=0則α、β為3x²+2ax+b=0的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡f（α）+f（β）得到即可；
（2）設(shè)出A與B兩點坐標，求出中點坐標線段判斷AB的中點是否在y=f（x）上即可．
解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，由于f（x）有極大值和極小值，
∴α、β為3x²+2ax+b=0的兩根，則
=（α³+β³）+a（α²+β²）+b（α+β）+2c
=[（α+β）³-3αβ（α+β）]+a[（α+β）²-2αβ]+b（α+β）+2c
=
=
（2）設(shè)A（α，f（α）），B（β，f（β），
由
=
知AB的中點在y=f（x）上．
點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力．