Question

回答下列兩個問題，給出例子或給出證明。

   （1）對任意正整數n，在平面上是否都存在n伸不在同一條直線上的點，使得任意兩點間的距離都為正整數？

   （2）在平面上是否存在兩兩不同的無限點列組成的點集M，使得M內所有點不在同一條直線上，且M內任意兩點間的距離為正整數？

Answer 1

解析：（1）存在，對于n∈N⁺，取互不相同的n個質數P₁，P₂，…，P_n，

        令a_i=P₁P₂…P_i，b_i=P_i+1P_i+2…P_n，（i=1，2，…n－1），顯然a_i，b_i∈N⁺，

        令m=P₁P₂…P_n，于是m=a_ib_i（i=1，2，…，n－1）

        在y軸上取點A（0，2m），在x軸上取點，易知這n個點A，B₁，B₂，…，B_n－1­不在同一條直線上，且

         

   （2）不存在，不然，假高存在不共線的無限點列組成的點集M，且M內任意兩點間的距離都為正整數，取不共線的三點A、B、C∈M，注意到三角形兩邊之差之絕對值小于第三邊，則M內其余點到點A與點B的距離之差，只能取－|AB|到|AB|之間的整數值，而－AB到AB之間的整數值總共只有有限個，由雙曲線定義可知，M內除去A、B、C三點的其余無限多個點必在以點A和點B為兩個焦點的有限條互不相交的雙曲線上，稱它們為AB族雙曲線，同理，M內除去A、B、C三點的其余無限多個點必在以點B和點C為兩個焦點的有限條互不相交的雙曲線上，稱它們為BC族雙曲線。

            由于A、B、C三點不共線，故兩族雙曲線的交點顯然只有有限個，然而M內除去A、B、C三點的其余無限多個點中的每個點既在AB族雙曲線上，又在BC族雙曲線，從而必在兩族雙曲線的交點上，而兩族雙曲線的交點個數有限，矛盾？