Question

已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求證：
（Ⅰ）a＞0，c＜0；
（Ⅱ）．

Answer 1

證明：（1）因a＞b＞c，故0=a+b+c＜3a，所以a＞0，
同理0=a+b+c＞3c，
∴c＜0；
（2）要證，即證
即證b²-ac＜3a²即3a²-b²+ac＞0
又因為c=-a-b即證3a²-b²+a（-a-b）＞0
即證2a²-ab-b²＞0
即證（a-b）（2a+b）＞0
又因為a＞b，a-b＞0，即證2a+b＞0，又因為a+b=-c即證a-c＞0
即證a＞c
又由已知，a＞c，故原不等式成立
分析：（1）因a＞b＞c，故0=a+b+c＜3a，所以a＞0，同理可證c＜0；
（2）利用分析法，將證明的不等式轉化為證明：（a-b）（2a+b）＞0，因為a＞b，a-b＞0，即證2a+b＞0，又因為a+b=-c即證a-c＞0，即證a＞c，故得證．
點評：本題以等式與不等式為前提，考查不等式的證明，證題的關鍵是利用分析法，將要證明的問題，轉化為證明已知的條件會結論．