Question

如圖，已知圓C與y軸相切于點T（0，2），與x軸正半軸相交于兩點M，N（點M必在點N的右側），且|MN|=3橢圓D：的焦距等于2|ON|，且過點．
（I） 求圓C和橢圓D的方程；
（Ⅱ） 設橢圓D與x軸負半軸的交點為P，若過點M的動直線l與橢圓D交于A、B兩點，∠ANM=∠BNP是否恒成立？給出你的判斷并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設圓C的半徑r，由題意可得圓心（r，2）由MN的長度可求半徑r，進而可求圓的方程，在圓的方程中，令y=0可求M，N的坐標，從而可求c，然后由已知點在橢圓上可求b，進而可求a，可求橢圓方程
（II）由題意可設直線L可設為y=k（x-4），聯立直線與橢圓方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據方程的根與系數關系可求x₁+x₂，x₁x₂，從而可求k_AN+k_BN==0，進而可得
解答：解：（I）設圓C的半徑r，由題意可得圓心（r，20
∵|MN|=3
∴r²==
故圓的方程為：①
①中，令y=0可得x=1或x=4，則N（1，0），M（4，0）
即c=1
∵，消去a可得2b⁴-5b²-3=0
解得b²=3，則a²=4
故橢圓的方程為
（II）恒有，∠ANM=∠BNP成立
∵M在橢圓的外部
∴直線L可設為y=k（x-4）
由可得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x₁+x₂=，x₁x₂=
k_AN+k_BN==
=
==0
∴K_AN=-K_BN即∠ANM=∠BNP
當x₁=1或x₂=1時，k=，此時對方程△=0不合題意
綜上，過點M的動直線l與橢圓D交于A，B兩點，恒有∠ANM=∠BNP成立
點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓方程，直線與橢圓位置關系的應用及方程的根與系數關系的應用，試題具有一定的綜合性