Question

已知PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，AC與BD交于E點，BD=2，BC=CD．
（1）取PD中點F，求證：PB∥平面AFC．
（2）求二面角A-PB-E的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用空間坐標系解．先以AC、AP分別為y、z軸，A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，欲證PB∥平面ACF，只須證PB∥EF，分別求出向量的坐標后，結合向量的線性運算即可進行判斷．
（2）欲求二面角A-PB-E的余弦值，只須求出平面PAB、平面PBE的法向量的夾角，再結合圖形求其補角即得．
解答：解：以AC、AP分別為y、z軸，A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
∵PA=AB=AD=BD=2，BC=CD，
∴△ABC≌△ADC，
∴△ABD是等邊三角形，且E是BD中點，AC⊥BD，
則A（0，0，0）、、、、P（0，0，2）、
（1），
∴，
∴PB∥EF，
∴PB∥平面ACF．
（2）設平面PAB、平面PBE的法向量分別為，
則的夾角的補角就是二面角A-PB-E的平面角．
∵，，，
由及
得，．
∴，
∴二面角A-PB-E的余弦值為．
點評：本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及直線與平面平行的判定等知識，還考查了空間想象力、空間向量的運算．屬于基礎題．