Question

橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對偶性質(zhì)，如對于橢圓有如下命題：AB是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的不平行于對稱軸且不過原點的弦，M為AB的中點，則k_OM•k_AB=-

b2

a2

．那么對于雙曲線則有如下命題：AB是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的不平行于對稱軸且不過原點的弦，M為AB的中點，則k_OM•k_AB=

 

．

Answer 1

分析：先設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），則根據(jù)中點坐標公式有

x0= x1+x2 2 y0= y1+y2 2

．將A，B的坐標代入雙曲線方程得：

x 2 1

a2

-

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

-

y 2 2

b2

=1．兩式相減得后結(jié)合直線的斜率公式即得k_OM•k_AB=

b2

a2

．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
則有

x0= x1+x2 2 y0= y1+y2 2

．
∵

x 2 1

a2

-

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

-

y 2 2

b2

=1．
兩式相減得

x 2 1 - x 2 2

a2

=

y 2 1 - y 2 2

b2

，即

(x1-x2)(x1+x2)

a2

=

(y1-y2)(y1+y2)

b2

，
∴

(y1-y2)(y1+y2)

(x1-x2)(x1+x2)

=

b2

a2

，即k_OM•k_AB=

b2

a2

．
故答案為：

b2

a2

．

點評：本題主要考查了類比推理、圓錐曲線的共同特征．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．