Question

【題目】一個函數f（x），如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在f（x）的定義域內，就有f（a），f（b），f（c）也是某個三角形的三邊長，則稱f（x）為“保三角形函數”．

（1）判斷f1（x）=x，f2（x）=log2（6+2sinx-cos2x）中，哪些是“保三角形函數”，哪些不是，并說明理由；

（2）若函數g（x）=lnx（x∈[M，+∞））是“保三角形函數”，求M的最小值；

（3）若函數h（x）=sinx（x∈（0，A））是“保三角形函數”，求A的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）2 ； （3）.

【解析】

（1）不妨設a≤c，b≤c，由函數的值域，即可得到結論；

（2）要利用“保三角形函數”的概念，求M的最小值，首先證明當M≥2時，函數h（x）＝lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函數，然后證明當0＜M＜2時，h（x）＝lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函數，從而求出所求；

（3）A的最大值是，討論①當A時；②當A時；結合新定義和三角函數的恒等變換，即可得到最大值．

（1）不妨設a≤c，b≤c，

由a+b＞c，可得f1（a）+f1（b）＞f1（c），

即有f1（x）=x為“保三角形函數”；

由6+2sinx-cos2x=sin2x+2sinx+5=（sinx+1）2+4∈[4，8]，

可得f2（x）∈[2，3]，即有2+2＞3，

可得f2（x）為“保三角形函數”；

（2）M的最小值為2

（i）首先證明當M≥2時，函數h（x）＝lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函數．

對任意一個三角形三邊長a，b，c∈[M，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，

則h（a）＝lna，h（b）＝lnb，h（c）＝lnc．

因為a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a﹣1）（b﹣1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，

即lna+lnb＞lnc．

同理可證明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．

所以lna，lnb，lnc是一個三角形的三邊長．

故函數h（x）＝lnx （x∈[M，+∞），M≥2），是保三角形函數…13分

（ii）其次證明當0＜M＜2時，h（x）＝lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函數，h（x）＝lnx （x∈[M，+∞））不是保三角形函數　

因為0＜M＜2，所以M+M＝2M＞M2，所以M，M，M2是某個三角形的三條邊長，

而lnM+lnM＝2lnM＝lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能為某個三角形的三邊長，所以h（x）＝lnx 不是保三角形函數．

所以，當M＜2時，h（x）＝lnx （x∈[M，+∞））不是保三角形函數．

綜上所述：M的最小值為2

（3）A的最大值是．

①當A＞時，取a==b，c=，顯然這3個數屬于區間（0，A），

且可以作為某個三角形的三邊長，

但這3個數的正弦值、、1顯然不能作為任何一個三角形的三邊，

故此時，h（x）=sinx，x∈（0，A）不是保三角形函數．

②當A=時，對于任意的三角形的三邊長a、b、c∈（0，），

若a+b+c≥2π，則a≥2π-b-c＞2π--=，

即a＞，同理可得b＞，c＞，∴a、b、c∈（，），

∴sina、sinb、sinc∈（，1]．

由此可得sina+sinb＞+=1≥sinc，即sina +sinb＞sinc，

同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，

故sina、sinb、sinc 可以作為一個三角形的三邊長．

若a+b+c＜2π，則+＜π，

當≤時，由于a+b＞c，∴0＜＜≤，

∴0＜sin＜sin≤1．

當＞時，由于a+b＞c，∴0＜＜＜，

∴0＜sin＜sin＜1．

綜上可得，0＜sin＜sin≤1．

再由|a-b|＜c＜，以及y=cosx在（ 0，π）上是減函數，

可得cos=cos＞cos＞cos＞0，

∴sina+sinb=2sincos＞2sincos=sinc，

同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，

故sina、sinb、sinc 可以作為一個三角形的三邊長．

故當A=時，h（x）=sinx，x∈（0，A）是保三角形函數，

故A的最大值為．