Question

（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換

已知矩陣，其中，若點在矩陣的變換下得到點，

 

（Ⅰ）求實數a的值；    （Ⅱ）求矩陣的特征值及其對應的特征向量.

（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程

已知直線的極坐標方程為，圓的參數方程為

 

（其中為參數）.

（Ⅰ）將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；

（Ⅱ）求圓上的點到直線的距離的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）選修4-2：矩陣與變換

解：（1）解：（Ⅰ）由=， ∴. -------------------3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，則矩陣的特征多項式為

 --------------------------5分

令，得矩陣的特征值為與4. （5分）

當時，

∴矩陣的屬于特征值的一個特征向量為;  ---------------------------------6分

當時，

∴矩陣的屬于特征值的一個特征向量為.  ------------------------------7分

 

（2）選修4-4：坐標系與參數方程

（Ⅰ）以極點為原點，極軸為軸正半軸建立直角坐標系. ----------------1分

----------------2分

所以，該直線的直角坐標方程為：----------------3分

（Ⅱ）圓的普通方程為：----------------4分

圓心到直線的距離---------------5分

所以，圓上的點到直線的距離的最小值為----------------7分

【解析】略