Question

證明：對任給的奇素數p，總存在無窮多個正整數n使得p|（n2ⁿ-1）．

Answer 1

分析：取n=（p-1）k，則由費爾馬小定理知2^（p-1）k≡1（mod p），證明p|（n2ⁿ-1）即證（p-1）k•2^（p-1）k≡1（mod p），從而可得k=pr-1（r∈N^*），即可證明．

解答：證明：取n=（p-1）k，則由費爾馬小定理知2^（p-1）k≡1（mod p），
所以p|（n2ⁿ-1）等價于（p-1）k•2^（p-1）k≡1（mod p），
等價于（p-1）k≡1（mod p），
等價于k≡1（mod p），
取k=pr-1（r∈N^*），
∴n=（p-1）（pr-1），就有（p-1）k•2^（p-1）k≡1（mod p），即p|（n2ⁿ-1）．

點評：本題考查由費爾馬小定理，考查學生分析解決問題的能力，正確運用由費爾馬小定理是關鍵．