Question

設函數f（x）=x³-3ax²+3bx．
（I）若a=1，b=0，求曲線f（x）=y在點（1，f（1））處的切線方程；
（II）當b=1時，若函數f（x）在[-1，1]上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程即可；
（II）y=f（x）在[-1，1]上單調遞增，可轉化成在[-1，1]上恒有f′（x）≥0，討論對稱軸與區間[-1，1]的位置關系，求出f′（x）的最小值，使最小值大于等于0，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=1，b=0時，f（x）=x³-3x²，所以f（1）=-2  即切點為P（1，-2）
因為f′（x）=3x²-6x 所以 f′（1）=3-6=-3，所以切線方程為y+2=-3（x-1），
即y=-3x+1．
（Ⅱ）y=f（x）在[-1，1]上單調遞增，又f′（x）=3x²-6ax+3=3（x²-2ax+1）．
依題意f′（x）在[-1，1]上恒有f′（x）≥0，即x²-2ax+1≥0．
①當x=a＞1時，f′（x）_min=f′（1）=2-2a≥0∴a≤1；所以舍去；
②當x=a＜-1時，f′（x）_min=f′（-1）=1+2a+1≥0∴a≥-1；所以舍去；
③當-1≤a≤1時，f′（x）_min=f′（a）=-a²+1≥0，則-1≤a≤1
綜上所述，參數a的取值范圍是-1≤a≤1．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及恒成立問題，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．