Question

在△ABC中，(1)若＝a，＝b，求證△ABC的面積S_△＝；

(2)若＝(a₁，a₂)，＝(b₁，b₂)，求證：△ABC的面積S_△＝|a₁b₂－a₂b₁|．

Answer 1

答案：
解析：

解析　　利用S＝|a||b|sinθ，再用夾角公式可證出． 　　證明　　(1)設a，b的夾角為θ，△ABC的面積S△＝||·||·sinθ＝|a|·|b|·sinθ． 　　∵sin2θ＝1－cos2θ＝1－()2， 　　∴S△2＝(|a|·|b|)2sin2θ 　　＝(|a|·|b|)2×[1－()2] 　　＝[(|a|·|b|)2－(a·b)2]， 　　∴S△＝ 　　(2)記＝a，＝b，則a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 　　∴|a|2＝a12＋a22， 　　|b|2＝b12＋b22，|a·b|＝， 　　由(1)知S△＝ 　　＝ 　　＝ 　　∴S△＝|a1b2－a2b1|． 　　評析　　(1)是用數量積給出的三角形面積公式，(2)則是用向量坐標給出的三角形面積公式．