Question

20．如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），b=1，左右兩個焦點分別為F₁，F₂．過右焦點F₂且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M，N兩點，且|MN|=1．
（1）求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 設橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AB}=m-4$，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

Answer 1

分析 （1）由題意$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，利用過右焦點F₂且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M，N兩點，且|MN|=1，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AB}=m$-4得-4-2x+y=m-4，求出點B關于P的軌跡的對稱點，即可確定點P的軌跡方程，

解答 解：（Ⅰ）由題意$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，
設$M（c，y），（y＞0）∴\frac{c^2}{a^2}+{y^2}=1$…（2分）
∴${y^2}=1-\frac{c^2}{a^2}=\frac{{{a^2}-{c^2}}}{a^2}=\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{a^2}$，
∴$y=\frac{1}{a}=\frac{1}{2}，即a=2$…（4分）
∴所求橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知點A（-2，0），點B為（0，-1），設點P的坐標為（x，y）
則$\overrightarrow{PA}=（-2-x，-y）$，$\overrightarrow{AB}=（2，-1）$，…（6分）
由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AB}=m$-4得-4-2x+y=m-4，
∴點P的軌跡方程為y=2x+m…（8分）
設點B關于P的軌跡的對稱點為B'（x₀，y₀），
則由軸對稱的性質可得：$\frac{{{y_0}+1}}{x_0}=-\frac{1}{2}，\frac{{{y_0}-1}}{2}=2•\frac{x_0}{2}+m$，
解得${x_0}=\frac{-4-4m}{5}，{y_0}=\frac{2m-3}{5}$，…（10分）
∵點B'（x₀，y₀）在橢圓上，∴${（\frac{-4-4m}{5}）^2}+4{（\frac{2m-3}{5}）^2}=4$，
整理得2m²-m-3=0解得m=-1或 $m=\frac{3}{2}$…（12分）
∴點P的軌跡方程為y=2x-1或$y=2x+\frac{3}{2}$，
經檢驗y=2x-1和$y=2x+\frac{3}{2}$都符合題設，
∴滿足條件的點P的軌跡方程為y=2x-1或$y=2x+\frac{3}{2}$…（14分）

點評 本題考查橢圓方程與性質，考查軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．