Question

4．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、BD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC₁D₁
（Ⅱ）求證：EF⊥B₁C
（Ⅲ）求三棱錐A₁-ABD₁的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結BD₁，則EF∥D₁B，由此能證明EF∥平面ABC₁D₁．
（Ⅱ）由B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，知B₁C⊥平面ABC₁D₁，由此能證明EF⊥B₁C．
（Ⅲ）三棱錐A₁-ABD₁的體積${V_{{A_1}-AB{D_1}}}={V_{{D_1}-{A_1}AB}}$，由此能求出結果．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）連結BD₁，
在△DD₁B中，E、F分別為D₁D，DB的中點，則EF∥D₁B，
又∵D₁B?平面ABC₁D₁，EF?平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁．（3分）
（Ⅱ）∵B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，
AB?平面ABC₁D₁，BC₁?平面ABC₁D₁，
AB∩BC₁=B，
∴B₁C⊥平面ABC₁D₁．
又∵BD₁?平面ABC₁D₁，∴B₁C⊥BD₁，
而EF∥BD₁，∴EF⊥B₁C．（8分）
解：（Ⅲ）三棱錐A₁-ABD₁的體積：
${V_{{A_1}-AB{D_1}}}={V_{{D_1}-{A_1}AB}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}AB}×{A}_{1}{D}_{1}$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×A{A}_{1}×AB×{A}_{1}{D}_{1}$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$．（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．