Question

三棱錐P-ABC的三個側面兩兩互相垂直，求證：頂點P在底面的射影O是底面三角形ABC的垂心．

Answer 1

分析：三棱錐P-ABC，在面PAB中任取一點M，過M作MD⊥PA，ME⊥PB，可證得PC⊥平面PAB，同理可證，PA⊥平面PBC，PB⊥平面PAC；再利用線面垂直的判定定理與性質定理即可證得頂點P在底面的射影O是底面三角形ABC的垂心．

解答：證明：三棱錐P-ABC，在面PAB中任取一點M，過M作MD⊥PA，ME⊥PB，
∵三棱錐P-ABC的三個側面兩兩互相垂直，
∴MD⊥平面PAC，ME⊥平面PBC，
∴MD⊥PC，ME⊥PC，MD∩ME=M，
∴PC⊥平面PAB，同理可證，PA⊥平面PBC，PB⊥平面PAC；
∵頂點P在底面的射影為O，
連接CO并延長交AB于C′，連接AO并延長交BC于A′，
∵PC⊥平面PAB，AB?平面ABC，
∴PC⊥AB，又PO⊥底面ABC，
∴PO⊥AB，又PC∩PO=P，
∴AB⊥平面PCC′，
∴AB⊥CC′；
同理可證，BC⊥AA′，
∴O是底面三角形的垂心．

點評：本題考查平面與平面垂直的性質，突出考查線面垂直的判定與線面垂直的性質的綜合應用，考查作圖、推理與證明的能力，屬于中檔題．