Question

已知函數f（x）=x³-ax²+bx+c，
（1）若函數在x=-1和x=3時取得極值，求a，b的值．
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，6]時，f（x）＜2C恒成立，求C的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數f′（x），由題意得f′（-1）=0，f′（3）=0，解方程組即可求得a，b值；
（2）當x∈[-2，6]時，f（x）＜2C恒成立等價于f（x）_max＜2c，由（1）的結果利用導數即可求得函數f（x）的最大值；

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax+b，
因為函數f（x）在x=-1和x=3時取得極值，
所以

f′(-1)=0 f′(3)=0

，即

3+2a+b=0 27-6a+b=0

，解得a=3，b=-9，
所以a=3，b=-9．
（2）由（1）知，f（x）=x³-3x²-9x+c，f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
當-2≤x＜-1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，當-1＜x＜3時，f′（x）＜0，f（x）遞減，當3＜x≤6時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
所以當x=-1時f（x）取得極大值，為f（-1）=5+c；
又f（6）=54+c，
所以f（x）在[-2，6]上的最大值為54+c，
當x∈[-2，6]時，f（x）＜2C恒成立等價于f（x）_max＜2c，即54+c＜2c，解得c＞54．
故c的取值范圍為：c＞54．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值及求函數在閉區間上的最值問題，考查函數恒成立問題，考查學生對問題的轉化能力，恒成立問題往往轉化為函數最值解決．