Question

如圖，是函數y=(

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2

)x和y=3x²圖象的一部分，其中x=x₁，x₂（-1＜x₁＜0＜x₂）時，兩函數值相等．
（1）給出如下兩個命題：①當x＜x₁時，(

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2

)x＜3x2；②當x＞x₂時，(

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2

)x＜3x2，試判定命題①②的真假并說明理由；
（2）求證：x₂∈（0，1）．

Answer 1

分析：（1）命題①是假命題，可以舉反例：取x=-10，進行驗證即可；命題②是真命題，利用函數y=(

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2

)x在[x₂，+∞）上是減函數，函數y=3x²在[x₂，+∞）上是增函數，即可證得；
（2）先將函數圖象交點范圍問題轉化為函數f(x)=3x2-(

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)x，的零點問題，再利用零點存在性定理，判斷零點范圍即可作出證明．

解答：解：（1）命題①是假命題，可以舉反例：取x=-10，則x＜x₁，但是(

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)-10=1024，3×（-10）²=300，(

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)x＜3x2不成立；
命題②是真命題，∵函數y=(

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)x在[x₂，+∞）上是減函數，函數y=3x²在[x₂，+∞）上是增函數，
∴當x＞x₂時，(

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2

)x＜(

1

2

)x2=3

x

2 2

＜3x2；
（2）構造函數f(x)=3x2-(

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2

)x，則f（0）=-1＜0，f(1)=

5

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＞0，
∴f（x）在區間（0，1）內有零點，又∵函數f(x)=3x2-(

1

2

)x在區間（0，+∞）上單調遞增，
∴f（x）在區間（0，1）內的零點唯一，即x₂，
∴x₂∈（0，1）；

點評：本題主要考查了函數零點的存在性定理和零點范圍的判斷方法，函數零點問題與函數圖象交點問題間的聯系和相互轉化，一定的運算能力和比較大小能力